AI時代Math元年 : 用Python全精通矩陣及線性代數

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作者:姜偉生

出版社:深智數位

ISBN:9786267383407

$94.75

產品號碼: 230688 貨號: 9786267383407 分類: , 標籤: , , , ,

  有資料就有矩陣,有矩陣就有向量,有向量就有幾何,有幾何就有空間
  從資料一路提升到張量的所有數學基礎
  將數學視為思想、工具、語言、體系、基石、藝術的角度進行學習
  分為向量、矩陣、向量空間、矩陣分解、微積分、空間幾何、資料
  所有機器學習、深度學習最重要的基礎數學概念
  不再亂猜,寫機器學習程式碼時,每行指令背後代表的數學基礎
  學矩陣就是學AI,從此看到AI程式碼完全無負擔

  AI熱潮來臨,每個人都很怕直接被機器取代,不管文科理科背景的人,每個人都想搭上AI快車飛速到達未來。然而你的第一關就是數學。數學是宇宙的共同語言,也是人類意志極緻的展現。數學從數字開始進入高維之後,向量、矩陣、張量將整個人類文明帶入新的境界,也將我們的世界從點線面體推向無法視覺化的高維空間,而針對空間的運算,更是所有科學的重要基礎。空間幾何這門完全和生活知識抽離的學科,看似是和向量打交道而已,但卻是整個世界運行的基礎,近年AI興起,機器學習及深度學習成為熱門行業,當你想要學習TensorFlow時,面對的第一個觀念就是張量(Tensor)。這些名詞讓你感到陌生又不是完全不認識時,就是重拾矩陣的時候了。本書利用最小的成本,幫你把這個又陌生又熟悉的老朋友重新交往。作者從最簡單的加法開始說明,一直到機器學習中的梯度、偏導數、積分、矩陣、線性代數,從小學到研究所所學的數學,一一在適當的章節出現,當你讀到某個章節時,會發現「啊!原來如此,這就是奇異值分解在機器學習的原理啊!」,有一種豁然開朗的感覺,相信這種驚喜在全書中會不斷出現。ChatGPT出來之後,AI已經光速啟動,有志加入這個行業,也只能快速跟上,而這本書,正是你進入的最佳助手,與其繼續逃避直到被淘汰,不如就花一點時間,把這本本來就不難的書看完,補上你個人AI志業的最重要一塊拼圖。

  全書分為以下幾個部分:向量:從資料、矩陣、向量、幾何、空間開始談起,包括向量運算,範數等基本定理。接下來談到矩陣,把矩陣所有的性質(四則運算、表格、秩等)說明清楚,更有重要的內外積等。第三部分談的是向量,包括座標系、各種變換、維度、行列視,投影、正交、基等性質。第四部分談的是矩陣分解,實作了包括LU、Cholesky、QR,特徵/奇異值分解。第五部分就是談到空間的微積分,如多元函式、偏導、梯度、方向微分、泰勒展開等。也說明了拉格朗日乘子等。第六部分說明了空間幾何,包括直線、超平面、圓錐曲線等。也說明了曲面和正定性等問題。最後一部分則整理了前面所有觀念,發展至資料統計、SVD分解、機器學習、線性迴歸及PCA原理。搭配本書系其它書籍,相信AI的數學,對你來說只會是開心而不是阻礙。
 

目錄

第 1章    不止向量
1.1    有資料的地方,必有矩陣     
1.2    有矩陣的地方,更有向量     
1.3    有向量的地方,就有幾何     
1.4    有幾何的地方,皆有空間     
1.5    有資料的地方,定有統計     

第 2章    向量運算
2.1    向量:多面手     
2.2    行向量、列向量     
2.3    向量長度:模,歐氏距離,L2範數     
2.4    加減法:對應位置元素分別相加減     
2.5    純量乘法:向量縮放     
2.6    向量內積:結果為純量     
2.7    向量夾角:反餘弦     
2.8    餘弦相似度和餘弦距離     
2.9    向量積:結果為向量     
2.10    逐項積:對應元素分別相乘     
2.11    張量積:張起網格面     

第 3章    向量範數
3.1   Lp範數:L2範數的推廣     
3.2   Lp範數和超橢圓的聯繫     
3.3   L1範數:旋轉正方形     
3.4   L2範數:正圓     
3.5   L∞範數:正方形     
3.6   再談距離度量     

第4章    矩陣
4.1    矩陣:一個不平凡的表格     
4.2    矩陣形狀:每種形狀都有特殊用途     
4.3    基本運算:加減和純量乘法     
4.4    廣播原則     
4.5    矩陣乘法:線性代數的運算核心     
4.6    兩個角度解剖矩陣乘法     
4.7    轉置:繞主對角線鏡像     
4.8    矩陣逆:「相當於 」除法運算     
4.9    跡:主對角元素之和     
4.10    逐項積:對應元素相乘     
4.11    行列式:將矩陣映射到純量值     

第5章    矩陣乘法
5.1    矩陣乘法:形態豐富多樣     
5.2    向量和向量     
5.3    再聊全1列向量     
5.4    矩陣乘向量:線性方程式組     
5.5    向量乘矩陣乘向量:二次型     
5.6    方陣次方陣:矩陣分解     
5.7    對角陣:批次縮放     
5.8    置換矩陣:調換元素順序     
5.9    矩陣乘向量:映射到一維     
5.10    矩陣乘矩陣:映射到多維     
5.11    長方陣:奇異值分解、格拉姆矩陣、張量積     
5.12    愛因斯坦求和約定     
5.13    矩陣乘法的幾個雷區

第6章    分塊矩陣
6.1    分塊矩陣:橫平垂直切豆腐
6.2    矩陣乘法第一角度:純量積展開     
6.3    矩陣乘法第二角度:外積展開     
6.4    矩陣乘法更多角度:分塊多樣化     
6.5    分塊矩陣的逆     
6.6    克羅內克積:矩陣張量積     

第 7章    向量空間
7.1    向量空間:從直角座標系說起
7.2    給向量空間塗顏色:RGB色卡     
7.3    張成空間:線性組合紅、綠、藍三原色     
7.4    線性無關:紅色和綠色,調不出青色     
7.5    非正交基底:青色、品紅、黃色     
7.6    基底轉換:從紅、綠、藍,到青色、品紅、黃色     

第8章    幾何變換
8.1    線性變換:線性空間到自身的線性映射     
8.2    平移:仿射變換,原點變動     
8.3    縮放:對角陣     
8.4    旋轉:行列式值為1     
8.5    鏡像:行列式值為負     
8.6    投影:降維操作     
8.7    再談行列式值:幾何角度
    
第 9章    正交投影
9.1    純量投影:結果為純量     
9.2    向量投影:結果為向量     
9.3    正交矩陣:一個規範正交基底     
9.4    規範正交基底性質     
9.5    再談鏡像:從投影角度     
9.6    格拉姆-施密特正交化     
9.7    投影角度看回歸     
 
第 10 章    資料投影
10.1    從一個矩陣乘法運算說起     
10.2    二次投影 + 層層疊加     
10.3    二特徵資料投影:標準正交基底     
10.4    二特徵資料投影:規範正交基底     
10.5    四特徵資料投影:標準正交基底     
10.6    四特徵資料投影:規範正交基底     
10.7    資料正交化     

第 11章    矩陣分解
11.1    矩陣分解:類似因式分解     
11.2    LU分解:上下三角     
11.3    Cholesky分解:適用於正定矩陣     
11.4    QR分解:正交化     
11.5    特徵值分解:刻畫矩陣映射的特徵     
11.6    奇異值分解:適用於任何實數矩陣     

第 12章    Cholesky分解
12.1    Cholesky分解     
12.2    正定矩陣才可以進行Cholesky分解     
12.3    幾何角度:開合     
12.4    幾何變換:縮放 → 開合     
12.5    推廣到三維空間     
12.6    從格拉姆矩陣到相似度矩陣     

第 13章    特徵值分解
13.1    幾何角度看特徵值分解     
13.2    旋轉 → 縮放 → 旋轉     
13.3    再談行列式值和線性變換     
13.4    對角化、譜分解     
13.5    聊聊特徵值     
13.6    特徵值分解中的複數現象     

第 14章    深入特徵值分解
14.1    方陣開方     
14.2    矩陣指數:冪級數的推廣     
14.3    費氏數列:求通項式     
14.4    馬可夫過程的平穩狀態     
14.5    瑞利商     
14.6    再談橢圓:特徵值分解     

第 15章    奇異值分解
15.1    幾何角度:旋轉 → 縮放 → 旋轉     
15.2    不同類型SVD分解     
15.3    左奇異向量矩陣U     
15.4    右奇異向量矩陣V    
15.5    兩個角度:投影和資料疊加     

第 16章    深入奇異值分解
16.1    完全型:U為方陣     
16.2    經濟型:S去掉零矩陣,變方陣     
16.3    緊湊型:非滿秩     
16.4    截斷型:近似     
16.5    資料還原:層層疊加     
16.6    估計與誤差:截斷型SVD     
16.7    正交投影:資料正交化

第 17章    多元函式微分
17.1    偏導:特定方向的變化率     
17.2    梯度向量:上山方向     
17.3    法向量:垂直於切平面     
17.4    方向性微分:函式任意方向的變化率     
17.5    泰勒展開:一元到多元     

第 18章    拉格朗日乘子法
18.1    回顧最佳化問題     
18.2    等式約束條件     
18.3    線性等式約束     
18.4    非線性等式約束     
18.5    不等式約束     
18.6    再談特徵值分解:最佳化角度     
18.7    再談SVD:最佳化角度     
18.8    矩陣範數:矩陣 → 純量,矩陣「大小 」    
18.9    再談資料正交投影:最佳化角度     
 
第 19章    直線到超平面

19.1    切向量:可以用來定義直線     
19.2    法向量:定義直線、平面、超平面     
19.3    超平面:一維直線和二維平面的推廣     
19.4    平面與梯度向量     
19.5    中垂線:用向量求解析式     
19.6    用向量計算距離     

第 20 章   再談圓錐曲線     
20.1    無處不在的圓錐曲線     
20.2    正圓:從單位圓到任意正圓     
20.3    單位圓到旋轉橢圓:縮放 → 旋轉 → 平移     
20.4    多元高斯分佈:矩陣分解、幾何變換、距離     
20.5    從單位雙曲線到旋轉雙曲線     
20.6    切線:建構函式,求梯度向量     
20.7    法線:法向量垂直於切向量     

第 21章   曲面和正定性     
21.1    正定性     
21.2    幾何角度看正定性     
21.3    開口朝上抛物面:正定
21.4    山谷面:半正定     
21.5    開口朝下抛物面:負定     
21.6    山脊面:半負定     
21.7    雙曲抛物面:不定     
21.8    多極值曲面:局部正定性     

第 22章   資料與統計     
22.1    統計 + 線性代數:以鳶尾花資料為例     
22.2    平均值:線性代數角度     
22.3    質心:平均值排列成向量     
22.4    中心化:平移
22.5    分類資料:加標籤     
22.6    方差:平均值向量沒有解釋的部分
22.7    協方差和相關性係數     
22.8    協方差矩陣和相關性係數矩陣     

第 23章    資料空間
23.1    從資料矩陣X說起     
23.2    向量空間:從SVD分解角度理解     
23.3    緊湊型SVD分解:剔除零空間     
23.4    幾何角度說空間     
23.5    格拉姆矩陣:向量模、夾角餘弦值的集合體     
23.6    標準差向量:以資料質心為起點     
23.7    白話說空間:以鳶尾花資料為例
    
第 24章   資料分解     
24.1    為什麼要分解矩陣?     
24.2    QR分解:獲得正交系     
24.3    Cholesky分解:找到列向量的座標     
24.4    特徵值分解:獲得行空間和零空間     
24.5    SVD分解:獲得四個空間     

第 25章   資料應用     
25.1    從線性代數到機器學習     
25.2    從隨機變數的線性變換說起     
25.3    單方向映射     
25.4    線性回歸     
25.5    多方向映射     
25.6    主成分分析

 

作者介紹

作者簡介

姜偉生

  博士FRM。勤奮的小鎮做題家,熱愛知識可視化和開源分享。自2022年8月開始,在GitHub上開源「鳶尾花書」學習資源,截至2023年9月,已經分享4000多頁PDF、4000多幅矢量圖、約2000個代碼文件,全球讀者數以萬計。

出版地

台灣

出版日期

03/20/2024

印刷

單色印刷

版別

初版

裝訂

平裝

語系

繁體中文

頁數

832